In matematica e fisica, in particolare in algebra multilineare e nel calcolo tensoriale, le nozioni di covarianza e controvarianza si riferiscono al modo in cui la descrizione di una data entità geometrica o fisica varia quando si effettua un cambiamento di coordinate, come una rotazione o una dilatazione dello spazio. Nel caso di una rotazione di una base ortogonale la differenza tra vettori e covettori non si percepisce. Affinché un vettore sia indipendente dalla base (sistema di riferimento) in cui viene ambientato è necessario che le sue componenti subiscano una trasformazione “contraria” a quella che subiscono i vettori di base quando si cambia la base. Un vettore è per questo motivo detto vettore controvariante, e le sue componenti contravariano al fine di mantenerne l’invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate avviene in maniera opposta rispetto al cambio di base, il quale rappresenta la rispettiva trasformazione inversa. Esempi di vettori contravarianti sono la posizione di un oggetto relativamente ad un osservatore e le sue derivate rispetto al tempo, come la velocità e l’accelerazione. Affinché un vettore duale , ovvero appartenente allo spazio duale dello spazio di partenza, sia indipendente dalla base in cui viene scritto è necessario che le sue componenti subiscano la stessa trasformazione dei vettori (funzioni lineari) di base quando si cambia la base. Un vettore duale è perciò detto vettore covariante, e le sue componenti covariano al fine di mantenerne l’invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate è la stessa del cambio di base. Esempi di vettori covarianti si ottengono solitamente applicando il gradiente ad una funzione. Se quindi il sistema di riferimento subisce una trasformazione descritta dalla matrice invertibile in modo che le coordinate di un vettore diventano , un vettore controvariante si trasforma nello stesso modo, ovvero . Il concetto di covarianza e controvarianza è di grande importanza nell’ambito dei tensori, oggetti matematici che sono in generale caratterizzati sia da componenti covarianti che controvarianti, e che per tale motivo sono detti avere varianza mista. Dato uno spazio vettoriale con una base e il suo spazio duale con la base duale , in relazione a tale dualità gli elementi di si dicono covettori in quanto sono dei funzionali lineari sullo spazio che, grazie al teorema di Riesz, possono essere “combinati” con gli elementi di , cioè i vettori, per dare uno scalare. Dopodiché i vettori e i covettori restano due oggetti distinti, definiti in spazi distinti, aventi ognuno le proprie componenti rispetto alla base data: le componenti del vettore rispetto a vengono indicate con e si dicono componenti controvarianti; le componenti di una applicazione rispetto alle funzioni vengono indicate con e si dicono componenti covarianti.